13. 두 수와 최대공약수 최소공배수의 관계

두 수의 최대공약수, 최소공배수를 구하는 과정을 숫자가 아닌 문자로 구해보자

 

24 * 36을 해보자

12 * 2 * 12 * 3 = 12 * 2 * 3 * 12 = 72 * 12

둘의 최대공약수는 12, 최소공배수는 72다.

두 수의 곱은 두 수의 최대공약수와 최소공배수를 곱한 값과 같다.

 

G A B

   a  b

의 경우

A = G * a (역산)

B = G * b

L = G * a * b (G는 최대공약수다. 거기다 a 와 b를 더하면 최소공배수가 나온다)

 

A * B = G * a * G * b = G * a * b * G = L * G

A * B = L * G

 

문제: 두 자연수의 최대공약수가 8이고 곱이 320일 때, 이 두 수의 최소공배수는?

8 320

    40

 

곱이 270, 최소공배수가 90

최소공배수 * 최대공약수가 270이다

그럼 역산해서 곱에서 최소공배수를 빼면 된다.

90 270

      3

 

두 자연수 15와 A의 최대공약수가 5고, 최소공배수가 60일 때 A의 값

5 * 60 = 15 * A

5 * 4 = A

20 = A

20 * 15 = 5 * 60

 

두 수 2^3 * 3 * 5 와 2^a * 3^b * c 의 최대공약수가 2*3이고, 최소공배수가

2^3 * 3^2 * 5 * 7일 때 a * b * c의 값은

최대공약수가 2 * 3 인걸 보니 c는 7이다. 최소공배수를 보니 3^2다. 그 말은 b = 2라는 말이다.

6 * 2520 = 120 + 3000 + 12000 = 15120

120 * 미지수 = 15120

120  15120

         121

9 * 7 = 63

63 121

      2

2^1 = 2

a = 1, b = 2, c = 7

14

 

더 쉬운 해설로는 최대공약수는 작은 지수가 내려온다.

2^1 이고 첫 번째 수가 2^3이니 a = 1이다.

최소공배수는 큰 지수가 내려온다.

3^2 이고, 첫 번째 수가 3^1 이니 b = 2이다

최소공배수는 밑이 공통되지 않아도 내려온다.

앞의 수에 7이 없는데 최소공배수에 있으니 c = 7이다